瑞利商

概念

瑞利商（ Rayleighquotient ）是一个数学概念，用于寻找矩阵的近似特征值。它以瑞利勋爵（ LordRayleigh ）的名字命名，他在机械系统振动研究中引入了这个概念。

瑞利商的定义如下：给定一个 Hermitian 矩阵 A 和一个非零向量 x ，瑞利商 R (A, x) 的计算公式为 $R(A,x)=\dfrac{x^tAx}{x^tx}$，其中 $x^t$ 表示向量 x 的共轭转置。

换句话说，

瑞利商衡量了将向量 x 乘以矩阵 A 得到的二次型与向量 x 的范数的平方之比。

瑞利商提供了一种将实数与给定向量关联的方法，它可以被解释为矩阵 A 的一个特征值的近似值。

性质

瑞利商具有几个重要的性质：

1. 最大值和最小值：当 x 是对应于矩阵 A 最大和最小特征值的特征向量时，瑞利商取得最大和最小值。

2. 变分特征：瑞利商的极值点即为矩阵 A 的特征值，它们可以通过对所有非零向量 x 计算瑞利商来确定。

3. 迭代方法：瑞利商常用于迭代方法，如瑞利商迭代（Rayleigh quotient iteration），用于计算 Hermitian 矩阵的特征值和特征向量。

瑞利商在矩阵分析、数值线性代数和量子力学等领域中起着重要作用。它为近似计算特征值提供了有用的工具，并通过与关联向量的方式来研究矩阵的性质。