概率论第三章题目

第三章：多维随机变量及其分布

1：分析独立随机变量的联合分布（考研题目）。

6：计算多信随机投入邮筒的联合和边缘分布。

$(X_1, X_2)$ 的联合分布为

$$\mathbb{P}(X_1 = k,\ X_2 = n - k) = \binom{n}{k} 2^{-n},\quad k = 0,1,2,\dots,n$$

$X_1$ 和 $X_2$ 的边缘分布相同，且：

$$\mathbb{P}(X_1 = k) = \mathbb{P}(X_2 = k) = \binom{n}{k} 2^{-n},\quad k = 0,1,2,\dots,n$$

7：推导两个随机变量的联合分布（抛硬币结果）。

$(X,Y)$ 的联合分布为

$$\begin{aligned}\mathbb{P}(X=0,Y=1)&=\mathbb{P}(X=3,Y=3)=1/8,\\\mathbb{P}(X=1,Y=1)&=\mathbb{P}(X=2,Y=1)=3/8.\end{aligned}$$

14：计算二维正态分布的概率（考研题目）。

（2015 年全国考研试题） 设二维随机变量 $X, Y$ 服从正态分布 $N(1, 0, 1, 1, 0)$，则：

$$\mathbb{P}(XY - Y < 0) = \underline{\quad}$$

答案：二维正态分布

均值为 1，0，方差均为 1，相关系数为 0 → 两变量独立

$$\mathbb{P}(XY - Y < 0) = \mathbb{P}\big(Y(X-1)<0\big) = 1/2$$

显然就是均值的两边嘛一个大一个小，一个小一个大，刚好一半

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15：分析正态分布随机变量的条件概率。

设随机变量 $X, Y$ 均服从正态分布 $N(0,1)$，且已知：

$$\mathbb{P}(X \leq 2,\ Y \leq -2) = 0.25$$

则：

$$\mathbb{P}(X > 2,\ Y > -2) = \underline{\quad}$$

因为刚好是 1/4，说明肯定是均值附近，所以不管大小关系都一定是 1/4

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23：处理联合密度函数，包括系数确定和条件期望。

连续型多维随机变量的联合密度函数

26：计算条件密度和期望（均匀分布）。

什么是条件密度函数？

37：分析均匀分布区域的边缘分布和独立性。

45：计算条件概率（泊松分布）。

52：检验均匀分布在正方形区域的边缘分布和独立性。

58：验证随机变量的独立性（均匀分布变换）。