二维正态分布

百度百科-二维正态分布

香蕉空间-正态分布

演示

定义

$$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$$

$\rho$ 为相关系数

$\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho$ 的范围分别为：

• $-\infty < \mu_1 < +\infty$
• $-\infty < \mu_2 < +\infty$
• $-1 < \rho < 1$
• $\sigma_1 \geq 0$
• $\sigma_2 \geq 0$

这个函数在三维空间中的图像是一个椭圆切面的钟形曲面倒扣在 $Ox_1x_2$ 平面上，其中心在 $(\mu_1, \mu_2)$ 点。

对于两个连续型随机变量 $X, Y$，若它们服从二维正态分布，则联合密度函数为：

$$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 + \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2 - \frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\right]\right)$$

其中，两个随机变量的均值分别为 $\mu_X, \mu_Y$，方差分别为 $\sigma_X, \sigma_Y$，$\rho$ 为两个变量的相关系数。若 $\rho = 0$，则表示两个变量相互独立。

$$\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\sigma_X^2\sigma_Y^2}} = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$$

多元正态分布的表达式为：

$$f(x_1,x_2,\ldots,x_k) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|\Sigma|}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{X}-\mu)^\mathrm{T}\Sigma^{-1}(\mathbf{X}-\mu)\right)$$

其中，$\mathbf{X}$ 为随机变量的向量表示，$\mu$ 为各随机变量期望的向量表示。在一般情况下，$\Sigma$ 的表达式为：

$$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho\sigma_X\sigma_Y \\ \rho\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{pmatrix}$$

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性质

$$EX=\mu_1, EY=\mu_2,VarX=\sigma_1^2,VarY=\sigma_2^2$$

Var 指方差

以下内容也可以为 [例题3.1.8](../3 随机变量的数字特征#3.1.3 条件期望) 的过程

$$E[Y|X=x] = b + \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x - a)$$$$\begin{aligned} E[XY] &= E\left[ x \cdot b + x \cdot \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x - a) \right]\\ &= E\left[ bX \right] + E\left[ \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1} X(X - a) \right] \end{aligned}$$$$E[\rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1} X(X - a)] = \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1} E[X(X - a)]$$$$E[X(X - a)] = E[X^2 - aX] = E[X^2] - aE[X]$$

而 $E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \sigma_1^2 + a^2$，所以：

$$E[X(X - a)] = \sigma_1^2 + a^2 - a^2 = \sigma_1^2$$

因此：

$$E[XY] = ab + \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \cdot \sigma_1^2 = ab + \rho \sigma_1 \sigma_2$$

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最终结果：

$$E[XY] = ab + \rho \sigma_1 \sigma_2$$